函数极限趋于无穷的性质及其证明

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精选答案

首先，极限的概念有两种形式，一种就是直观的形式，一种就是严格的逻辑定义，在微积分发明的前100多年，大家一直用的是极限的直观形式，到100多年以后才由数学家建立了严格的逻辑语言，如果你想学严格的逻辑语言，我有一个链接，你可以去仔细的看：介绍用严格语言证明极限时常用的两个方法：适当放大(或缩小)法和提前约束法下面只讲一下直观的极限定义和直观的极限证明：先讲一下x趋近于无穷大时f(x)的极限为A的的直观的定义：如x的绝对值无限变大的时候，f(x)与A的距离可以任意的小，那我们说当x趋近无穷大时，f(x)的极限为A。

下面我们叙述一下极限的保号性，并用上述直观定义证明这个极限的保号性。极限的保号性是指：如果x趋近于无穷大时f(x)的极限大于零，则当x趋近于无穷大的时候（也就是x的绝对值，足够大的时候），f(x)也大于零。由于极限是一个数，他又比零大，那么极限到零的距离的一半也是一个正数d，因为根据极限的直观定义，只要x的绝对值足够的大就可以让f(x)与极限的距离小于d（因为他可以任意的小），由于极限是大于零的，而且极限与零的距离是2d，因此，只要函数与极限的距离小于d，那么函数f(x)就大于零。也就是说，当x绝对值足够大时f(x)就大于零。这样我们就证明完了极限的保号性。