数列极限的有序性证明

问题描述

精选答案

设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。

如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趋于无穷)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，f(x)为无穷小，且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时，1/f(x)才为无穷大。

其他回答

机电工程师

设数列{an}收敛于A，{bn}收敛于B，若对于所有正整数n，都有an≤bn，则有A≤B。这是因为如果不成立，即A>B，则存在ε>0，使得A-B=ε。由收敛的定义可知，存在正整数N1和N2，使得当n>N1时，|an-A|<ε/2；当n>N2时，|bn-B|<ε/2。那么当n>max{N1,N2}时，有an≥A-ε/2>B-ε/2≥bn-ε/2>bn-|bn-B|>bn-ε，与an≤bn矛盾。因此，A≤B。